微分 積分 学 の 基本 定理。 微分積分学の基本定理とは

初等解析学 (微分積分学) 入門 §15

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遂に微分と面積が結びつきました。 ってことが発見されただけのことなのでしょうか? そしてそれが正しいことをニュートンが証明した? 定積分はその領域の面積のことで、不定積分は終端を(定積分可能な区間を動く)変数xとして当然xが動くとその定積分すなわち面積が変わるから関数の形にした。 , をそれぞれ の 上積分 upper integral , 下積分 lower integral と呼びます。

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彼は 微分積分学の基本定理を発見し、従来は別の学問であると思われた微分法と積分法 を統一しました。

微分積分学の基本定理とは?高校数学で役立つときや入試問題を解説! │ 東大医学部生の相談室

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関数としての変数は、あくまで x です。

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微分積分学から微分方程式論、フーリエ解析等解析学の様々な分野が分化し発展しました。

大学数学: 16 定積分の定義と微積分学の基本定理

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何故ならば、もし , であって と の符号が異なるような事があれば、 が 上で連続である事に注意して中間値の定理から なる が存在する事となり、 が の最小の解である事に矛盾するからです。

2を定義として採用すれば,1は性質として導けます。

初等解析学 (微分積分学) 入門 §14

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関数 が において次を満たす時、 は で 極大となると言い、 を 極大値 local maximum と呼ぶ。 また、積分区間の端点が定数であれば、定積分は x の関数ではなく、あくまで何らかの「定数」になる事にも注意が必要です。

このように、積分区間の端が複雑な関数になっていた場合は微分積分学の基本定理と合成関数微分公式を用いて微分ができます。

【基本】定積分と微分の関係

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これが「微分」です。

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このように考えると、 となるような -形式 が存在するかどうか という問題が気になってきます。

微積分学の基本定理

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ここでは増減表の上手な書き方を扱う事はしませんが、このような計算が何故可能なのか、その数学的な根拠を微分積分学の基本定理を使って明らかにしたいと思います。

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このように,ある図形の面積や体積を求める際に,微小区間に分けて面積や体積の分かっている図形で近似していくという考え方を 区分求積法 といいます。

微積分学の基本定理

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つまり であり、 に矛盾します。 これと 4 から任意の に対して となり、特に となる事から、 に関して を、 に関して を取れば が得られます。

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理論と計算について 大学の数学では、理論が理解できれば十分であり計算は不要だとの声も聞きます。

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すると、区間 において は「常に正」か「常に負」のどちらかとなります。 実際、微分積分学は「比類のない道具であって、形成後ずっと使われていながら、その切れ味はまだ完全には鈍ってしまってはいない」 ブルバキ、一部改変 と評されています。

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例えば 二分法 bisection method は、区間 において単調な連続関数 に対する零点 となる を求めるために、まず零点が と のどちらにあるかを調べ、今度は該当する区間を更に半分に分割して零点がどちらにあるかを調べ…と、区間をどんどん半分にしていって零点を追い込んでいくような方法です。